בגרות חורף 2025 – וקטורים בתיבהוקטורים 472 · שיעור 33
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה M היא מפגש האלכסונים בפאה BCC′B′. נקודה P נמצאת על המקצוע DD′ ומקיימת DP = 13 DD′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w
א. הביעו את הווקטורים AP ו־MP באמצעות u, v ו־w.
נתון: |v| = 8 , |w| = |u| = 24.
ב. (1) הוכיחו כי הווקטור AP מאונך לווקטור MP. (2) חשבו את שטח המשולש APM.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: D(0, 0, 0). הקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y והקודקוד D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים C′ , B , C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו את גודל הזווית PMB.
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ובאותו כיוון: AD = BC = v, DD′ = CC′ = AA′ = w. בסגול בסרטוט: AP ו־MP.
הווקטור AP: מ־A ל־D ואז מ־D ל־P.
AP = AD + DP
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
DP = 13DD′ = 13w
📐 נתון: חלוקת קטע
נציב AD = v , DP = 13w:
AP = v + 13w
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XZ + ZY
📐 נתון: חלוקת קטע
DP = 13DD′
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
AP = v + 13w
הווקטור AM: M היא מפגש האלכסונים של המלבן BCC′B′, ולכן היא אמצע האלכסון BC′.
BC′ = BC + CC′
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
נציב BC = v , CC′ = w:
BC′ = v + w
BM = 12BC′
📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XZ + ZY
📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)
BM = 12BC′
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
BM = 12BC′
📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)
נציב BC′ = v + w:
BM = 12(v + w) = 12v + 12w
AM = AB + BM
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
נציב AB = u , BM = 12v + 12w:
AM = u + 12v + 12w
📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)
BM = 12BC′
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
AM = u + 12v + 12w
הווקטור MP: מ־M ל־A ואז מ־A ל־P.
MP = MA + AP = −AM + AP
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
נציב AM = u + 12v + 12w , AP = v + 13w:
MP = −(u + 12v + 12w) + (v + 13w)
📐 וקטור נגדי
MP = −u − 12v − 12w + v + 13w
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XZ + ZY
📐 וקטור נגדי
MA = −AM
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
MP = −u − 12v − 12w + v + 13w
מחשבים את המקדמים: של v: −12 + 1 = 12; של w: −12 + 13 = −36 + 26 = −16.
MP = −u + 12v − 16w
✅ פתרון סופי: AP = v + 13w
MP = −u + 12v − 16w
MP = −u + 12v − 16w
סעיף ב (1) – הוכחה ש־AP מאונך ל־MP
בתיבה כל שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן:
u·v = 0
📐 וקטורים מאונכים
u·w = 0
v·w = 0
v·v = 82 = 64
📐 מכפלה של וקטור בעצמו
w·w = 242 = 576
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 מכפלה של וקטור בעצמו
a · a = |a|2
סעיף ב (1) – הוכחה ש־AP מאונך ל־MP · המשך
w·w = 242 = 576
נציב AP = v + 13w , MP = −u + 12v − 16w:
AP · MP = (v + 13w) · (−u + 12v − 16w)
📐 פתיחת סוגריים
AP · MP = −v·u + 12v·v − 16v·w − 13w·u + 16w·v − 118w·w
נציב u·v = u·w = v·w = 0 , v·v = 64 , w·w = 576:
AP · MP = 0 + 12 · 64 − 0 − 0 + 0 − 118 · 576
📐 פתיחת סוגריים
(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
סעיף ב (1) – הוכחה ש־AP מאונך ל־MP · המשך
AP · MP = 0 + 12 · 64 − 0 − 0 + 0 − 118 · 576
AP · MP = 32 − 32 = 0
AP · MP = 0
📐 וקטורים מאונכים
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AP ⊥ MP
📐 וקטורים מאונכים
a · b = 0 ⟸ a ⊥ b
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM
הזווית APM ישרה (סעיף ב1), ולכן AP ו־MP הם הניצבים. נחשב את אורכם:
נציב AP = v + 13w:
|AP|2 = AP2 = (v + 13w)2
📐 אורך וקטור
|AP|2 = v2 + 2 · 13 v·w + 19w2
📐 נוסחת הכפל המקוצר
נציב v2 = 64 , v·w = 0 , w2 = 576:
|AP|2 = 64 + 2 · 13 · 0 + 19 · 576 = 64 + 0 + 5769
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM · המשך
|AP|2 = 64 + 2 · 13 · 0 + 19 · 576 = 64 + 0 + 5769
|AP|2 = 64 + 64 = 128
|AP| = √128 = √64 · 2 = 8√2
נציב MP = −u + 12v − 16w:
|MP|2 = MP2 = (−u + 12v − 16w)2
📐 אורך וקטור
כשהווקטורים מאונכים זה לזה, כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשארים רק הריבועים:
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM · המשך
כשהווקטורים מאונכים זה לזה, כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשארים רק הריבועים:
|MP|2 = u2 + 14v2 + 136w2
📐 ריבוע של סכום שלושה
נציב u2 = 576 , v2 = 64 , w2 = 576:
|MP|2 = 576 + 644 + 57636 = 576 + 16 + 16 = 608
|MP| = √608 = √16 · 38 = 4√38 ≈ 24.66
SAPM = 12 · |AP| · |MP|
📐 שטח משולש ישר זווית
📐 ריבוע של סכום שלושה
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM · המשך
SAPM = 12 · |AP| · |MP|
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב |AP| = 8√2 , |MP| = 4√38:
SAPM = 12 · 8√2 · 4√38
SAPM = 16√76 = 16 · 2√19 = 32√19 ≈ 139.48
📐 כפל שורשים
✅ פתרון סופי: SAPM = 32√19 ≈ 139.48 יחידות שטח
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📐 כפל שורשים
√(a · b) = √a · √b
סעיף ג (1) – שיעורי C′ , B , C
D בראשית. אורכי המקצועות: DA = BC = 8, DC = AB = 24, DD′ = AA′ = 24.
A על החלק החיובי של ציר ה־x במרחק 8 מ־D, C על ציר ה־y במרחק 24, ו־D′ על ציר ה־z במרחק 24:
A(8, 0, 0)
C(0 , 24 , 0)
D′(0 , 0 , 24)
B: מ־A זזים כמו מ־D ל־C (24 בכיוון ציר ה־y):
סעיף ג (1) – שיעורי C′ , B , C · המשך
B: מ־A זזים כמו מ־D ל־C (24 בכיוון ציר ה־y):
B = A + DC
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
נציב A(8 , 0 , 0) , DC = (0 , 24 , 0):
B = (8 , 0 , 0) + (0 , 24 , 0) = (8 , 24 , 0)
C′: מ־C עולים 24 בכיוון ציר ה־z:
C′ = C + DD′
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
סעיף ג (1) – שיעורי C′ , B , C · המשך
C′ = C + DD′
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
נציב C(0 , 24 , 0) , DD′ = (0 , 0 , 24):
C′ = (0 , 24 , 0) + (0 , 0 , 24) = (0 , 24 , 24)
✅ פתרון סופי: C(0, 24, 0)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
📐 חיבור וקטורים בשיעורים
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
סעיף ג (2) – שיעורי M
M אמצע האלכסון BC′ (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה):
M = (8 + 02, 24 + 242, 0 + 242)
📐 אמצע קטע במרחב
M = (4, 24, 12)
✅ פתרון סופי: M(4, 24, 12)
📐 אמצע קטע במרחב
M = (x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22)
סעיף ד – גודל הזווית PMB
הזווית PMB היא הזווית בין הווקטורים MP ו־MB (שניהם יוצאים מ־M).
הנקודה P: DP = 13 · 24 = 8 על ציר ה־z, ולכן P(0, 0, 8).
MP = P − M = (0 − 4, 0 − 24, 8 − 12)
📐 וקטור בין שתי נקודות
MP = (−4, −24, −4)
MB = B − M = (8 − 4, 24 − 24, 0 − 12) = (4, 0, −12)
📐 וקטור בין שתי נקודות
MP · MB = (−4) · 4 + (−24) · 0 + (−4) · (−12)
📐 מכפלה סקלרית בשיעורים
📐 וקטור בין שתי נקודות
MP = P − M
📐 וקטור בין שתי נקודות
MB = B − M
📐 מכפלה סקלרית בשיעורים
(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
סעיף ד – גודל הזווית PMB · המשך
MP · MB = (−4) · 4 + (−24) · 0 + (−4) · (−12)
📐 מכפלה סקלרית בשיעורים
MP · MB = −16 + 0 + 48
MP · MB = 32
|MP| = √(−4)2 + (−24)2 + (−4)2 = √16 + 576 + 16
📐 אורך וקטור
|MP| = √608
|MB| = √42 + 02 + (−12)2 = √16 + 0 + 144 = √160
📐 אורך וקטור
📐 מכפלה סקלרית בשיעורים
(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
📐 אורך וקטור
|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
📐 אורך וקטור
|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ד – גודל הזווית PMB · המשך
|MB| = √42 + 02 + (−12)2 = √16 + 0 + 144 = √160
📐 אורך וקטור
cos∢PMB = MP · MB|MP| · |MB|
📐 זווית בין וקטורים
נציב MP · MB = 32 , |MP| = √608 , |MB| = √160:
cos∢PMB = 32√608 · √160 ≈ 32311.90 ≈ 0.1026
∢PMB ≈ 84.11 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢PMB ≈ 84.11 מעלות
📐 אורך וקטור
|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
📐 זווית בין וקטורים
cos∢ = a · b|a| · |b|
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AP = v + 13w
MP = −u + 12v − 16w
MP = −u + 12v − 16w
סעיף ב (1)
AP · MP = 0 ← מאונכים
סעיף ב (2)
S = 32√19 ≈ 139.48
סעיף ג (1)
C(0, 24, 0)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
סעיף ג (2)
M(4, 24, 12)
סעיף ד
≈ 84.11 מעלות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא